Подскажите, почему начали сохнуть листья у моего цветка, ведь ухаживаю, как обычно???

Евгения, сначала проверьте драцену на наличие вредителей, особенно паутинного клеща. Его сразу можно не заметить, но я вижу неясные желтые пятна на отдельных листках. Если обнаружили, тогда обработайте растение против вредителя специализированным препаратом или препаратом для против вредителей садовых растений (антиклещ и другие). Но характер этих повреждений очень похож на следующие заболевания: пятнистое увядание (опасное вирусное заболевание, не лечится),  бактериоз (наиболее вероятная версия, тоже неизлечимое заболевание), филлостиктоз, гетероспороз (при этих грибных заболеваниях надо обрабатывать растение фунгицидами с интервалом 7-10 дней). Если это не вредители, то я бы рекомендовала зачеренковать растение. Для этого надо обрезать растение на высоте 5-10 см на уровне от грунта, разрезать, а верхнюю часть, очистив нижний конец от листков, подсушить сутки, и попробовать укоренить в новом горшке и субстрате. Оставшиеся отрезанные части лучше выкинуть. Растение в горшке обработайте фунгицидом 2 раза, понаблюдайте до весны: если на молодых листках будут похожие пятна — попробуйте несколько обработок фунгицидами, и если это не поможет — избавляйтесь от растения.

Добавлю только на счет черенкования (если вы все-таки решите сделать так, как вам советует Елена). Для укоренения необходимы равномерные температура +22+26 град С, влажность субстрата (необходимо регулярно опрыскивать). В течение 2-3 недель верхушечный черенок драцены хорошо укореняется в песке или смеси песка и листовой земли.