Можно ли садовые качели надежно закрепить без использования цемента?

Елена, по моему мнению, не нужно рисковать, заливайте опоры цементом. Это же не просто столбы, на них будет идти постоянная расшатывающая нагрузка.

Кстати, и «цемент» без арматуры тоже не панацея. Если уж Вам не мил бетонный раствор, то предлагаю для надежной установки качелей использовать две параллельно уложенные трубы, закопанные в землю на глубину около 20 см. Диаметр труб — не менее 100 мм. Длина — метра три. К этим двум трубам следует приварить опоры качелей. Либо напрямую, либо через переходные косынки (если не хватит высоты подвеса). Думаю, среди пользователей не найдется сорви-головы, способного раскачать заглубленную  конструкцию с опорным контуром 2 на 3 метра.

Для надежной установки качелей можно обойтись и без цементного раствора. Что нужно сделать?
Во-первых, приобрести  бетонные блоки или плиты. Их количество зависит от числа опорных стоек, которые удерживают качалку (см. рисунок). В данном случае их четыре.

На бетонные плиты устанавливают металлические прямоугольные (квадратные) по форме стаканы (башмаки). По размерам они должны соответствовать габаритам сечения опор.
Затем в грунте, на месте установки опорных наклонных стоек выкапывают ямки глубиной равной толщине плиты. На дно ямки насыпают смесь песка и мелкого гравия, тщательно утрамбовывают. В ямку опускают плиту, которая становится достаточно надежным фундаментом для качелей. Необходимо помнить, что в металлические стаканы, прикрепленные к плитам, вставляются основания наклонных стоек, по принципу калош на валенки. Для жесткого и надежного закрепления делается дополнительная фиксация стоек в стакане с помощью штырей или болтов.
 

Полностью соглашусь с Strashnov ЭКСПЕРТ  по поводу крепления через трубы, единственно дополню, что я крепил качели через металлические штыри — забитые в землю. А трубы не обязательно закапывать в землю на такую глубину, достаточно просто в уровень с землей.

Есть грунтовые анкера. С тросиком или со стержнем М10.
4 анкера (по одному на стойку).
на фото — крепили батут, анкер держит 100 кг, глубина забивки 40 см.
А если брать со стержнем, то получается металлический уголок. Закрепляем к качели саморезами, а анкером крепим уголок к земле.
Фото не нашел со стержнем.